Trick 9: 活塞運動的嘆息：sin與cos

14th鐵人賽 typescript 演算法遊戲開發 javascript

小哈片刻

2022-09-12 07:46:56

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三角函數是遊戲程式設計師必定要鑽研的課題之一，除了在向量的運算中需要大量的三角函數之外，光是正弦(sine)與餘弦（cosine)這兩個數學式本身，就能帶給遊戲莫大的好處。我們今天就來談談一些sine與cosine的應用。

三角函數

sin cos
我知道同學們對這些基本的三角函數都很熟了，不過還是在這裏快速介紹一下什麼是正弦函數和餘弦函數。如果一個直角三角形的斜邊長度是１，其中一個銳角是θ（唸作theta），那麼在這個角對面的邊長長度就是正弦sin(θ)，另一個在角旁邊的底邊長度就是餘弦cos(θ)。

在JavaScript/TypeScript中，正弦函數可由Math.sin(θ)計算出來，其中的θ單位是弧度（角度180度＝弧度π），餘弦函數則是由Math.cos(θ)來計算。這兩個函數有以下一些明顯的特性，

不管θ是多少，-1 ≤ sin(θ) ≤ 1，-1 ≤ cos(θ) ≤ 1。
sin²(θ) + cos²(θ) = 1（畢氏定理）。
cos(θ) = sin(90°-θ)（90°-θ就是三角形的另一個銳角）。

polar coord
如果我們把三角形長度為１的斜邊從θ為0°轉到90°、180°，再繼續轉到270°、360°，就會發現這個斜邊滑過的面積剛好是一個圓，而圓周上的點，剛好可以用 x = cos(θ) 和 y = sin(θ) 來表示，這也就是極座標和xy座標轉換公式的來源。

/** 將極座標轉換成x,y座標的函式，參數依序是
 * length: 距離原心的距離
 * angle: 和x軸的夾角（以弧度表示）
 */
function polarToXY(length: number, angle: number): Point {
    return new Point(
        Math.cos(angle) * length, // x值
        Math.sin(angle) * length  // y值
    );
}

如果在一個座標平面把θ的變化放在x軸，sin(θ)和cos(θ)放在y軸，那畫出來的就是波的形狀。
wave graph

大致瞭解了sine與cosine的特性之後，我們就能來看看這兩個函數到底能怎樣被遊戲拿來運用。

活塞運動

記得剛剛我們講的，把直角三角形的斜邊繞了360度畫出一個圓形嗎？圓上點的座標可以用(cos(θ) ,sin(θ) )來表示，其中不管是x值的變化，或是y值的變化，都會呈現活塞運動的軌跡。

那麼，如果我們把時間作為θ放進三角函數算座標，然後只把圓上座標的y值拿出來使用，就可以模擬小魔女飛在空中上下飄浮的動畫。
漂浮魔法師　　　武器飄浮
在俯視地圖中，我們也可以把三角函數放入武器的縮放值，來營造物體飄浮的感覺。

/** 模擬小魔女在空中飄浮
 * witch: 魔女的圖案
 * center: 魔女飄浮的中心點
 * time: 目前的時間(毫秒)
 */
function updateWitch(witch: PIXI.Sprite, center: Point, time: number) {
    // 飄浮上下震動的頻率(次數/毫秒)
    let frequency = 0.001;
    // 飄浮上下震動的震幅(次數/毫秒)
    let yHalfRange = 30;
    // 以目前的時間和頻率計算現在的θ
    let theta = frequency * time * Math.PI * 2;
    // 更新魔女的y
    witch.y = center.y + Math.sin(theta) * yHalfRange;
}

淡入淡出

類似於活塞運動的應用，但只取θ在0°到90°(π)區間內的sin(θ)，就可以把線性的數值變化改成淡出（即越靠近動畫的尾聲，值改變地越少）。
fadein fadeout
我們來寫寫程式，把淡出的數學寫成一個函式。

/** 寫一個淡出的百分比變化
　*　參數是目前經過的時間 time
　*　以及整個動畫的時間 duration
　*　回傳一個0到1的數值，這個數值的變化會有淡出的效果
　*/
function fadeout(time: number, duration: number): number {
    // 先算出線性的百分比值
    let percent = time / duration;
    // 限制這個比值在0到1的區間
    percent = Math.max(0, Math.min(1, percent));
    // 使用sin讓percent轉變為淡出（Math.PI/2就是90°）
    return Math.sin(percent * Math.PI / 2);
}

如果θ取在-90°(-π)到0°之間，那數值的變化就可以拿來製作淡入效果，不過因為值會從-1跑到0，所以在應用的時候，要把sin(θ)的值加上1，調整為0到1。

/** 淡入的百分比變化
　*　參數是目前經過的時間 time
　*　以及整個動畫的時間 duration
　*　回傳一個0到1的數值，這個數值的變化會有淡入的效果
　*/
function fadein(time: number, duration: number): number {
    // 先算出線性的百分比值
    let percent = time / duration;
    // 限制這個比值在0到1的區間
    percent = Math.max(0, Math.min(1, percent));
    // 使用sin讓percent轉變為淡出（θ要移-90°）
    let value = Math.sin(percent * Math.PI / 2 - Math.PI / 2);
    // 最後的值要加上1，才會讓值從0變化至1
    return value + 1;
}

同理，θ取在-90°(-π)到90°(π)之間，那就可以淡入後淡出，但是在取得sin(θ)值之後，要加上1再除以2，才能將值調整至0到1。

/** 淡入且淡出的百分比變化
　*　參數是目前經過的時間 time
　*　以及整個動畫的時間 duration
　*　回傳一個0到1的數值，這個數值的變化會有淡入且淡出的效果
　*/
function fadeinAndOut(time: number, duration: number): number {
    // 先算出線性的百分比值
    let percent = time / duration;
    // 限制這個比值在0到1的區間
    percent = Math.max(0, Math.min(1, percent));
    // 使用sin讓percent轉變為淡出（θ要移-90°）
    let value = Math.sin(percent * Math.PI - Math.PI / 2);
    // 最後的值要加1再除以2，才會讓值從0變化至1
    return (value + 1) / 2;
}